基于LSBDL的GNSS坐标时间序列预测方法

陈其康^1,2，侯鹏宇¹，张督^1,2，张宝成¹

1. 中国科学院精密测量科学与技术创新研究院精密大地测量与定位全国重点实验室，武汉 430017；
2. 中国科学院大学地球与行星科学学院，北京 100049

摘  要：尽管深度学习模型在全球导航卫星系统（global navigation satellite system，GNSS）坐标时间序列预测中表现出较强的非线性拟合能力，但其“黑盒”特性使得模型难以输出具有统计意义的参数和不确定度信息，难以满足大地测量对结果可解释性和质量控制的要求。为弥补这一不足，近期出现了一种融合神经网络与最小二乘估计的深度学习方法（least-squares-based deep learning，LSBDL）。但目前尚缺乏在GNSS领域进一步的相关应用，其在真实GNSS样本中的表现仍不明确，有待系统验证。因此，本文引入LSBDL，通过对多个参考站的多尺度GNSS坐标序列开展预测建模与性能评估，探索其在卫星大地测量非线性建模中的适用性与潜力；同时，为验证方法可行性，与常用主流模型LSTM、GRU进行比较实验。结果表明：LSBDL在短期预测中表现优秀，平均预测精度为3.1~4.7 mm，运行时间控制在1 s内，部分测站的预测效果明显优于其他方法；但在长期预测中，其拟合能力和稳定性方面表现稍弱。这为大地测量中实时性要求较高的数据处理与质量控制提供了新思路。

关键词：GNSS坐标时间序列预测；GNSS数据处理；最小二乘理论；深度学习；可解释性

引用格式：陈其康, 侯鹏宇, 张督, 张宝成. 2025. 基于LSBDL的GNSS坐标时间序列预测方法. 时空信息学报, 32(6): 641-652
 Chen Q K, Hou P Y, Zhang D, Zhang B C. 2025. Prediction method for GNSS coordinate time series based on LSBDL model. Journal of Spatio-temporal Information, 32(6): 641-652, doi: 10.20117/j.jsti.202506001

1  引  言

作为现代时空基准体系的核心支撑，全球卫星导航系统（global navigation satellite system，GNSS）的持续发展与连续运行基准站（continuously operating reference station，CORS）网络的广泛部署，为大地测量学、地球动力学等领域提供了高精度、全天候的观测数据（姜卫平等，2018；杨元喜，2016）。自国际 GNSS 服务（international GNSS service，IGS）组织牵头构建全球连续观测网络以来，全球已形成覆盖广泛的 GNSS 基准站网（陈俊勇，2007；黄立人，2006；张鹏等，2018）。通过长期连续观测获取的GNSS站点三维坐标随时间演变的序列，即 GNSS 坐标时间序列，已成为揭示地壳运动、地表沉降、冰川消融等地球物理过程的关键数据载体（Zhang 等，1997；王杰等，2025；王堂兴和季捷，2025）。

GNSS 坐标时间序列的高精度预测对毫米级参考框架维护、地质灾害早期预警等工程实践具有重要意义（姜卫平等，2018；李昭等，2012；杨金虎，2025）。坐标时间序列的非线性变化趋势来源复杂。虽然测站站点一般都设在地质构造比较稳定的区域，但其三维坐标会因地壳形变、沉降等原因，而产生分米级别的非线性偏移趋势（姜卫平，2017；陈明和武军郦，2017）。有时也会因地震、滑坡产生坐标跳跃，在数据中形成突变点（姜卫平等，2016；施闯等，2002）。此外，除了地球物理效应引起的季节性位移变化，还掺有虚假的非线性变化，如由GNSS数据处理模型不准确和系统误差引起的变化趋势（姜卫平，2017；张永红和陈军，2023）。

针对上述信号组成特性的时间序列，传统统计方法通过分离线性趋势、周期性信号、非线性扰动及噪声项进行建模，依赖经验假设的参数拟合实现预测。许多方法应用于研究GNSS时间序列的时变季节性信号，如奇异谱分析（Chen等，2013）、卡尔曼滤波（Davis等，2012；Didova等，2016）、小波分解（Klos等，2017）。与之相对，数据驱动的深度学习方法凭借其强大的非线性拟合能力，在 GNSS 坐标时间序列预测中展现出显著优势。这类方法无须预设物理模型，通过深层网络结构挖掘数据隐含规律。如基于循环神经网络（recurrent neural network，RNN）方法构建的地表沉降预测模型（岳振华等，2020）；进一步地，其改进的长短期记忆（long short-term memory，LSTM）网络，通过门控机制有效解决了RNN 的长时依赖遗忘问题，成为当前时序预测领域的主流深度学习模型（彭文祥和张德英，2024；冉佳诺等，2022）。此外，门控循环单元（gated recurrent unit，GRU）作为LSTM的简化变体，在保持记忆能力的同时降低了模型复杂度，也被广泛应用于时序预测任务（杨丽等，2018；朱湘杰等，2024）。尽管深度学习方法摆脱了经验假设的依赖，但其“黑盒”特性也为卫星大地测量带来了模型处理和解释的挑战（Guidotti等，2018）。主要表现在，网络权重与预测结果之间缺乏明确的物理关联，无法输出具有统计意义的参数矩阵，从而导致模型无法揭示内部的决策过程，这与卫星大地测量对结果可追溯性、物理意义阐释的核心需求存在显著矛盾（张驰等，2021；陈军等，2023）。目前GNSS 领域的深度学习应用较多停留在模型迁移层面，如岳振华等（2020）迁移RNN方法建立了沉降预测模型，以预测地面沉降；朱宝等（2022）利用传统差分自回归移动平均模型（autoregressive integrated moving average model，ARIMA model）和深度学习方法相结合的方式，预测了海岸带地面沉降，其本质是利用LSTM预测时间序列。

上述研究仍难以从根本上解决可解释性与非线性处理能力的协同问题（王鑫等，2018；许磊等，2023；高旭等，2025）。因此，Amiri-Simkooei 等（2024）在标准最小二乘理论框架下提出了一种融合神经网络的基于最小二乘的深度学习（least-squares-based deep learning，LSBDL）方法，原理是将输入与输出相关联的线性化模型的设计矩阵，用最小二乘优化技术迭代。但目前尚缺乏在GNSS领域进一步的相关应用，其在真实GNSS样本中的表现仍不明确，有待系统验证。因此，本文引入LSBDL（Amiri-Simkooei等，2024）为核心方法，通过对多个参考站的多尺度GNSS坐标序列开展预测建模与性能评估，探索其在卫星大地测量非线性建模中的适用性与潜力；同时，为验证方法可行性，与常用主流模型进行比较实验。

2  基于最小二乘的深度学习

最小二乘法凭借结果估计最优的特性，广泛用于GNSS数据处理与建模。LSBDL融合了网络处理的非线性拟合模式，同时预测结果符合最小二乘最优解的形式，继承了框架的完善的统计工具，具备直接输出参数矩阵、易于物理解释等特点。

2.1  标准线性最小二乘法

最小二乘法是一种经典的参数估计方法。基本原理为，给定观测方程：

式中，y为观测向量；A为设计矩阵；x为待估参数向量；e为残差向量。将残差加权平方和作为目标函数，通过最小化目标函数：

式中，Q_y为y的协方差矩阵。可得未知参数的最小二乘估计为（陶武勇等，2017）：

由参数向量的估计值，可得到观测值和残差的最小二乘估计分别为

这一解具有无偏性和方差最小的性质，并当观测向量与设计矩阵已知时，能给出参数与残差的协方差估计（杜得彦和刘强，2001）。在GNSS数据处理中，该方法通过建立观测向量与未知向量的数学关联，不仅提供最优解，还能输出具有统计意义的协方差矩阵，为模型结果的可解释性奠定基础（邹乐强，2010）。因此，本文构建起统一的融合最小二乘的深度学习框架，解决复杂非线性问题。

2.2  融合最小二乘的深度学习

深度学习方法的基本原理是建立一个输入层到输出层的映射，通过隐藏层中的激活函数来捕捉数据中的复杂性，从而添加非线性处理能力（Amiri- Simkooei等，2024）。而线性最小二乘法可以提供最简洁高效的线性处理，可以将式（3）视作具有恒等激活函数的全连接前馈网络的转置版本。

2.2.1  模型结构设计

对LSBDL框架求解一个非线性最小二乘问题，本质类似将非线性问题分离变量，每次训练先用神经网络处理非线性问题，训练非线性参数矩阵W，随后经过最小二乘估计线性部分参数向量X，通过反向传播迭代过程中的样本残差，用最陡下降法（steepest descent method，SD）优化目标函数，从而更新权重矩阵W（Amiri-Simkooei等，2024）。本文利用LSBDL（Amiri-Simkooei等，2024），进行天顶方向坐标时间序列预测（图1）。

在监督学习情况下，框架遵循以下最小二乘准则：

式中，D为输入特征矩阵；λ为激活函数；W为非线性参数矩阵；X为线性部分参数向量。搭建最小二乘框架，假设设计矩阵A已知，使用最小二乘法估计参数向量X。为防止深度学习公式（式（2））中的设计矩阵产生秩亏，在最小二乘公式（式（3））中加入广泛应用于最小二乘法的Tikhonov正则化方法。由此，X的最小二乘估计修改为

式中，为正则化系数；I为单位矩阵；Q为协方差矩阵。相应地，对W进行最小化：

该最小化问题可采用SD解决。通过迭代，更新权重矩阵：

式中，W^（t）为第t次迭代后的权重矩阵；为式（7）中的目标函数；为梯度算子；为设置的学习率超参数。根据式（4）推导的最小二乘残差估计，以及链式法则，简单计算可得到权重矩阵的迭代：

式中，为残差矩阵，即观测矩阵与预测矩阵的差值；为权重因子；为激活函数矩阵的一阶导数。通过上述迭代方式，LSBDL遵循两步循环过程，优化估计线性和非线性参数矩阵。

LSBDL框架在模型结构与训练机制上与传统神经网络并不相同。如图1所示，其在非线性映射部分采用全连接前馈网络，通过激活函数将特征矩阵D映射为设计矩阵。这一层相当于把复杂的非线性问题转化为可线性化的特征表达。每次迭代仅对权重矩阵更新，随后，在给定网络权重W的条件下，加权最小二乘法对参数向量X进行闭式求解。

在训练过程中，最小二乘步骤在每一次迭代中都会对线性参数给出条件全局最优解。这使得目标函数中的误差项来源于最优估计下的残差，与传统深度学习模型需要在复杂的参数耦合下进行全局梯度回传不同，LSBDL的两阶段交替循环大幅缩短了梯度路径，提高了收敛速度，减少了训练所需的迭代次数和参数规模，从而在保持预测精度的同时显著提升了计算效率。

此外，LSBDL能够直接输出具有统计意义的参数矩阵（Amiri-Simkooei等，2024）。全连接层的权重决定了输入特征如何映射为设计矩阵，而最小二乘解则明确给出了各特征的线性权重。通过结合这两类参数，可以定量得到每个特征在预测中的贡献。同时，最小二乘解还可以直接生成方差–协方差矩阵，使结果具备平差与误差理论中的统计可检验性。进一步地，利用DIA（detection，identification，and adaptation）等方法可对观测值和残差进行可靠性检验，从而使得LSBDL在深度学习框架下具备了传统神经网络所缺乏的决策透明性（Amiri- Simkooei等，2024）。

2.2.2  模型训练与预测

时序预测一般给定时间对应的时间序列值，用于预测处的q个未来值。实验探究不同步长下模型的预测表现，将时间窗口设置为包含7 d、30 d、180 d、360 d，以此来验证不同特征输入下模型的预测效果。因此，p分别取值7、30、180、365，q取值1。将区域内每个测站任选连续四年的U方向坐标样本划分为训练集，将第五年的样本数据作为测试集。对于训练数据集，将特征矩阵D扩充一列全为1的向量，用于包含偏差项。DW的卷积通过ReLU函数激活。权重矩阵W初始值通过–1~1的均匀分布随机生成，学习率设为0.1，正则化参数设置为1×10^–6。

训练过程中，W和X在每次迭代，分别按照式（9）和式（6）中的方式，循环交替优化，直至目标函数收敛。最终的模型基于验证集中的历史数据，输出预测结果。通过计算预测结果和与之对应的真实样本的偏差，以均方根误差（root mean squared error，RMSE）与平均绝对误差（mean absolute error，MAE），定量地给出模型训练和预测的精度。有

此外，用相关系数R评价预测信号和原始时间序列之间的相关性：

实验选用迭代时间、RMSE、MAE和相关系数R指标定量评估模型效率、预测精度和拟合效果。迭代时间越短，效率越高；RMSE和MAE数值越小，表示模型越优（朱宝等，2022）；相关系数越接近于1，说明模型预测效果越好。根据已有研究（高旭等，2025），当R＞0.7时，预测结果与原始序列之间具有较高的相似度和拟合度。

3  实验结果分析

3.1  实验数据与预处理

实验数据来源于IGS网站。在IGS全球测站中，选取中国的四个测站，即北京BJSF站、长春CHAN站、拉萨LHAZ站和乌鲁木齐URUM站，以及周边国家的两个测站，即蒙古国的ULAB站、日本的TSKB站。每个测站的连续SINEX格式日解文件，时间为2015~2019年共五年，合计1826 d。SINEX格式是一种GNSS数据交换格式，用于存储GNSS解算结果，包括测站坐标、速度、卫星钟差等。通过对这些数据的分析，可以研究测站的运动趋势、季节性变化及随机噪声特性。图2展示了所选取的IGS测站的地理位置分布。IGS时间序列数据主要来源于全球GNSS接收站网络，记录了测站随时间变化的三维坐标。这些坐标通常以国际地球参考框架（international terrestrial reference frame，ITRF）为参考系。

提取产品中每个测站解算后的XYZ坐标和时间信息，取五年的平均坐标为站心，将三维坐标转换为站心坐标系下的北–东–天（east-north-up，ENU）坐标，按时序重新编号。实验主要关注垂直方向上的坐标变换。发现多个测站时序数据会有连续性间隔数据空缺，去除掉三倍四分位距（interquartile range，IQR）范围的异常值后，利用RegME插值方法，对原本空缺的和因剔除所导致的空缺数据进行插值，得到实验数据集。将每个测站2015~2018年四年的U方向坐标样本（1461个）划分为训练集，将2019年的样本数据（365个）作为测试集。

3.2  结果分析

3.2.1  LSBDL预测结果分析

利用上文所述方法，经过调参，建立单层LSBDL，其中隐藏层包含25个神经元。设置短期预测步长（7 d、30 d），以及长期预测步长（180 d、365 d），使时间窗口分别包含不同周期特征的数据，以对比长、短时间依赖下的模型预测结果，并以CHAN站为例，得到不同步长下的预测结果和残差分布，如图3、4所示。

如图3（a）（b）所示，当步长为7 d、30 d时，LSBDL预测结果与原始数据高度拟合，各处细节也可以很好地贴合原始数据；而当步长增加至年周期365 d时，如（d）所示，预测误差明显增大，仅整体的升降趋势保持一致。如图4（a）至（c）所示，当步长为7 d、30 d、180 d时，95%残差大致分布在±0.007 m以内；但当步长为365 d时，如（d）所示，误差分布明显更分散，95%残差分布在±0.009 m以内。各测站不同步长的LSBDL预测评估结果如表1所示。

由表1可知，根据R，六个测站均在步长为30 d时预测效果达到最佳，步长为7 d时预测效果稍逊，可能是因特征获取不全所致；当步长为180 d、365 d时，模型拟合效果较差，尤其对于地面沉降幅度大、坐标时序波动显著的测站，如TSKB站、ULAB站，R值均低于0.7。从相对较短时间预测结果来看，LSBDL表现出较好的拟合效果，预测误差均在5 mm以内，R值为0.72~0.9。图5展示了各测站在步长30 d的LSBDL预测结果。当步长为30 d时，LSBDL对各测站的预测数据与验证集数据紧密吻合，呈现良好的拟合效果。

此外，实验还考虑当输入特征较少时，LSBDL的稳定性。通过连续输入10次随机生成的初始权重矩阵，得到CHAN测站不同步长下相关系数R随运行次数的变化曲线（图6）。模型在越短时间的步长预测中稳定性更好，在中长时间的步长预测中，模型预测结果具有明显波动性。当步长365 d时，R值为0.65~0.74，变动幅度为0.09；步长7 d、30 d时，R值的变化范围均在0.01以内。

3.2.2  不同模型预测结果分析

实验还基于PyTorch框架构建单层LSTM模型、单层GRU模型，分别对同一数据集进行预测和对比，二者均包含50个神经元。模型的迭代次数均设为200次，达到收敛。图7~8展示了利用构建的LSTM、GRU模型的预测结果和真实样本数据所绘制的曲线。LSTM、GRU模型在长短步长下的预测结果基本一致，且当步长为365 d时，其拟合效果明显优于图3（d）中LSBDL的预测结果。以CHAN站为例，不同模型不同步长预测结果评估如表2所示。

由表1、2可知，LSBDL在短时间预测（步长7 d、30 d）上与真实值贴合度高，六个测站的预测RMSE值为3.1~4.7 mm，其中，在部分测站的预测精度表现略优于LSTM、GRU模型；但在基于更长时间尺度的特征捕捉上表现稍弱，还达不到理想精度。究其原因，或许当输入特征过多时，无效特征带来了干扰项的增加，导致模型精度下降明显。总之，在中短时间预测任务中，模型精度在多数工程应用场景中均可满足需求。

在运行效率与实用性方面，LSBDL表现出显著优势。由表2可知，单层LSBDL在步长7 d、30 d、180 d的短期预测中，运行时间均控制在1 s以内，即使在步长365 d的长期预测中迭代时间也是在2 s以内。相较于LSTM、GRU模型，LSBDL在效率上提升了约两个数量级。究其原因，LSTM、GRU模型的复杂内部结构，导致模型迭代速度显著降低；而LSBDL结构高效性则源于其最小二乘估计的全局最优性，通过最优的残差估计，使得模型可以在仅数轮迭代后收敛，显著减小了参数规模，从而缩短了运行时间。

与传统深度学习模型不同，LSBDL的可解释性源于其独特的两阶段机制，即前半部分的神经网络用于生成非线性特征，后半部分的最小二乘估计直接输出参数矩阵和方差协方差矩阵。若依据迭代后的权重矩阵和参数矩阵可定量分析各特征在预测中的贡献，进一步地，将大地测量领域的数据质量控制方法和理论引入深度学习框架中，可以增强结果的透明度与可追溯性。需要指出的是，实验中输入特征为历史时间序列样本，且假设等权处理，因此协方差矩阵为单位阵，尚未充分发挥其解释性潜力。上述研究表明，LSBDL在未来结合数据加权与可靠性检验时，具有进一步拓展的应用价值。

4  结  论

近年来，随着人工智能技术的发展，深度学习被广泛应用于GNSS数据处理中。为解决经典深度学习模型在GNSS领域应用中可解释性差、预测效率与精度难以兼顾的问题，本文系统评估了最小二乘与深度学习相结合的LSBDL方法，在GNSS领域进一步的相关应用，分析了其在真实GNSS样本中的表现。结果表明：①当预测步长为7 d、30 d时，LSBDL对选定各测站天顶方向坐标的预测精度为3.1~4.7 mm，相关系数R值为0.72~0.9。这与已有LSTM、GRU模型的精度相当，相同测站的预测精度RMSE数值的差距控制在0.1 mm以内。②当预测步长分别增加至180 d、365 d时，各测站的预测误差为3.3~8.8 mm，R值均低于0.83；而LSTM、GRU模型精度仍可保持在3.7 mm以内，R值约0.81。③在六个测站上，LSBDL的迭代时间均控制在2 s以内；而在相同条件下，已有深度学习模型的迭代时间甚至为LSBDL的数十倍。

总之，LSBDL在时间序列预测中是一种适合短期特征提取的高效且精准的预测模型。在短期预测任务中，其能在极短时间内完成迭代，且在精度上与目前主流深度学习模型相当；但当步长增加，随着预测周期延长、需捕获的时间尺度特征增多，其预测精度、拟合效果和稳定性均有所下降。这与其模型结构特点密切相关。此外，目前主流深度学习模型LSTM、GRU则在长期预测场景下更具稳定性和拟合能力。

未来研究可聚焦于以下两个方面。一是扩展模型结构，本研究中仅采用单层全连接结构，迭代过程使用的是最小二乘中常见的一阶SD，后续将考虑引入更复杂的多层网络结构，以增强模型在多尺度数据上的预测能力。二是利用可输出的协方差矩阵，在更广泛的应用场景下系统评估其性能，挖掘高效与可解释性的优势，并结合大地测量中的可靠性检验方法，实现模型预测的质量控制与异常探测。

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